Question

2．已知函数f（x）=|x-a|-|x+1|，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≤x²-x的解集；
（Ⅱ）若正实数m，n满足2m+n=1，函数$f（x）≤\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）求出$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$的最小值，问题转化为|a+1|≤8，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=|x-1|-|x+1|，
f（x）≤x²-x即|x-1|-|x+1|≤x²-x，
x≥1时，x-1-x-1≤x²-x，即x²-x+2≥0，
解得：x≥2或x≤-1，（舍），
-1＜x＜1时，1-x-x-1≤x²-x，即x²+x≥0，解得：x≥0或x≤-1（舍），
x≤-1时，1-x+x+1≤x²-x，即x²-x-2≥0，
解得：x≥2（舍）或x≤-1，
综上，不等式的解集是（-∞，-1]∪[0，+∞）；
（Ⅱ）若正实数m，n满足2m+n=1，
则$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=（$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$）（2m+n）=4+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$≥4+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{4m}{n}}$=8，
当且仅当n=2m即n=$\frac{1}{2}$，m=$\frac{1}{4}$时“=”成立，
函数$f（x）≤\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$恒成立，即|x-a|-|x+1|≤|x-a-x-1|=|a+1|≤8，
解得：-9≤a≤7．

点评 本题考查了绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．