Question

过椭圆的一个焦点F引直线l：的垂线FM，垂足为M，l交椭圆于P、Q两点，若，则该椭圆的离心率为    ．

Answer 1

【答案】分析：根据直线的斜率公式和解直角三角形，算出|OM|=．由得M是OQ的中点，可得|OQ|=2|OM|=．由线段垂直平分线定理，得|QF₂|=|OF₂|=c，结合椭圆的定义得|QF₁|=2a-|QF₂|=2a-c，最后在△QF₁F₂中利用中线的性质，建立关于a、b、c的等式，化简整理得到离心率e的方程，解之即可得到所求离心率．
解答：解：∵直线l的斜率k=
Rt△OMF₂中，tan∠MOF₂==
结合|OF₂|=c，可得|OM|=
∵，
∴M是OQ的中点，可得|OQ|=2|OM|=
∵MF₂是OQ的垂直平分线，∴|QF₂|=|OF₂|=c
连结QF₁，由椭圆的定义可得|QF₁|=2a-|QF₂|=2a-c
∵OQ是△QF₁F₂的中线
∴4|OQ|²+|F₁F₂|²=2（|QF₁|²+|QF₂|²）
即4×+4c²=2[（2a-c）²+c²]，
化简整理得e³-3e²-2e+2=0，即（e²-4e+2）（e+1）=0
∵e+1＞0，∴e²-4e+2=0，解之得e=2
∵椭圆的离心率e∈（0，1），∴e=2-
故答案为：2-
点评：本题给出椭圆满足的向量式，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的定义与几何性质、向量的运算和解三角形等知识，属于中档题．