Question

（12分）已知椭圆.过点作圆的切线交椭圆于

，两点.

（1）求椭圆的焦点坐标和离心率；

（2）将表示为的函数，并求的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）椭圆G的焦点坐标为离心率为

（2）当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.

【解析】

试题分析：(1)由椭圆的标准方程可知a=2,b=1,,显然易求焦点坐标及离心率，但要注意焦点在x轴上.

（2）因为过点(m,0)作圆的切线，所以此点在圆上或在圆外，因而要对m的范围进行讨论.

然后设过点(m,0)的直线l的方程，根据直线l与圆相切，可得直线l的斜率，再与椭圆联立，利用韦达定理和判别式，弦长公式求得弦长|AB|与m的函数关系式，再利用基本不等式求得最大值.

（1）由已知得所以

所以椭圆G的焦点坐标为离心率为

（2）由题意知，.

当时，切线的方程，点A、B的坐标分别为

此时当m=－1时，同理可得

当时，设切线的方程为

由

设A、B两点的坐标分别为，则

又由与圆

所以

由于当时，所以.

因为且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.

考点：椭圆的标准方程及性质，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系，弦长公式，基本不等式求最值.

点评：本小题第（2）问综合性解决起来难度大，第一个要注意的时点(m,0)在圆上或圆外，因而要对m=1,m=-1,|m|>1三情况进行讨论求|AB|的弦长，表示出弦长|AB|关于m的函数表达式后还要注意适用基本不等式求最值.