Question

已知四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，G、H分别是CE、CF的中点．
（Ⅰ）求证：BH∥平面AEF；
（Ⅱ）若平面BDGH与平面ABCD所成的角为60°，求直线CF与平面BDGH所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）平面AEF内两条相交直线EF与OG分别平行平面BDGH内的两条相交直线GH与OG，利用平面与平面平行的判定定理证明即可，从而可得BH∥平面AEF；
（Ⅱ）取EF的中点N，建立空间直角坐标系，设AB=2，BF=t，求出B、C、F、H坐标，求出平面BDGH的一个法向量，平面ABCD的法向量，利用向量的数量积，结合二面角的大小，求出t，然后求出直线CF与平面BDGH所成的角的正弦值．

解答：（Ⅰ）证明：因为G、H分别是CE、CF的中点，
所以EF∥GH，
因为EF?平面BDGH，GH?平面BDGH，
所以EF∥平面BDGH，①
连接AC与BD交与O，
因为四边形ABCD是菱形，所以O是AC的中点
连OG，OG是三角形ACE的中位线，
所以OG∥AE，
因为AE?平面BDGH，OG?平面BDGH，
所以AE∥平面BDGH，
由①②知，平面AEF∥平面BDGH，
所以BH∥平面AEF；
（Ⅱ）解：BF⊥BD，平面BDEF⊥平面ABCD，所以BF⊥平面ABCD---------（5分）
取EF的中点N，ON∥BF，所以ON⊥平面ABCD，
如图建系，设AB=2，BF=t，则B（1，0，0），C（0，

3

，0），F（1，0，t（，H（

1

2

，

3

2

，

t

2

）
所以

OB

=（1，0，0），

OH

=（

1

2

，

3

2

，

t

2

），
设平面BDGH的法向量为

n1

=（x，y，z），则

x=0 1 2 x+ 3 2 y+ t 2 z=0

，
所以

n1

=（0，-t，

3

），
平面ABCD的法向量

n2

=（0，0，1），
因为平面BDGH与平面ABCD所成的角为60°，
所以|cos＜

n1

，

n2

＞=

3

3+t2

=

1

2

，所以t²=9，t=3，
所以

CF

=（1，-

3

，3），
设直线CF与平面BDGH所成的角为θ，则sinθ=|cos＜

CF

，

n1

＞|=

6 3

13 ×2 3

=

3 13

13

．

点评：本题考查空间向量求解二面角以及直线与平面所成角的求法，平面与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力的应用．