Question

设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，右焦点到直线+=1的距离d=，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点O到直线AB的距离为定值．并求出定值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由右焦点到直线+=1的距离d=，可得，又，及a²=b²+c²联立即可解出；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（1）直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立得到根与系数的关系．由OA⊥OB，可得x₁x₂+y₁y₂=0，把根与系数的关系代入即可；（2）直线AB斜率不存在时也满足．
解答：解：（I）由右焦点到直线+=1的距离d=，可得，化为3（a²+b²）=7（bc-ab）²，又，联立得，解得，
∴椭圆C的方程为．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
（1）直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，联立
消去y得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴，．
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，即，
∴，整理得7m²=12（k²+1），并且满足△＞0．
所以O到直线AB的距离为定值．
（2）直线AB斜率不存在时，直线AB的方程为：，化为，点O到直线AB的距离为为定值．
综上（1）（2）可知：点O到直线AB的距离为定值．
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量垂直与数量积得关系、点到直线的距离公式等基本知识与基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力与计算能力．．