Question

一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.

（Ⅰ）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；

（Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD―A₁B₁C₁D₁? 如何组拼？试证明你的结论；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下,设正方体ABCD―A₁B₁C₁D₁的棱CC₁的中点为E, 求平面AB₁E与平面ABC所成二面角的余弦值.

Answer 1

解：（Ⅰ）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.

其中底面ABCD是边长为6的正方形，高为CC₁=6，故所求体积是

 

 　（Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，其拼法如图2所示.

                                      

    证明:∵面ABCD、面ABB₁A₁、面AA₁D₁D为全等的正方形，于是

  故所拼图形成立.

（Ⅲ）方法一：设B₁E，BC的延长线交于点G，连结GA，在底面ABC内作BH⊥AG，垂足为H，连结HB₁，则B₁H⊥AG，故∠B₁HB为平面AB₁E与平面ABC所成二面角或其补角的平面角.

   在Rt△ABG中，，则

，，

，故平面AB₁E与平面ABC所成二面角的余弦值 为.-

方法二：以C为原点，CD、CB、CC₁所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系（如图3），∵正方体棱长为6，则E（0，0，3），B₁（0，6，6），A（6，6，0）.

       设向量n=（x，y，z），满足n⊥，n⊥，

于是，解得.      

        取z=2，得n=（2，-1，2）. 又（0，0，6），

故平面AB₁E与平面ABC所成二面角的余弦值为.