Question

已知cosx=-,求给定条件下的角x.

(1)x∈［0,π］;

(2)x∈［-2π,4π］;

(3)x∈R.

Answer 1

思路分析：记住arccosx∈［0,π］,利用诱导公式或利用终边相同的三角函数相等可求解.

解：（1）由余弦函数在闭区间［0，π］上是减函数和cosx=-知：符合条件的角有且只有一个，这个角为钝角.

    设cosθ=，θ∈(0,)，由反余弦定义可知：

θ=arccos.

∵＜π-θ＜π,

    且cos(π-θ)=-cosθ=-=cosx.

∴x=π-θ=π-arccos.

(2)∵x∈［-2π,4π］,由余弦函数的图象及周期性可知：在长度为6π的区间上，满足cosx=-的角x有6个.

    设cosθ=-,θ∈(0, ),由定义知：θ=arccos；

    由cosx=-＜0知角x的终边在第二或第三象限，由诱导公式可知在［0，2π］内：符合cosx=-的角x=π-θ和π+θ.

    即x₁=π-arccos,x₂=π+arccos;从而在［2π，4π］内符合条件的角x₃=x₁+2π=3π-arccos,x₄=x₂+2π=3π+arccos;在［-2π，0］内符合条件的角x₅=x₁-2π=-π-arccos,x₆=x₂-2π=-π+arccos,即在［-2π,4π］内，满足cosx=-的角x的集合为{π±arccos,3π±arccos,-π±arccos}.

(3)∵x是任意角，∴满足cosx=-的角x有无穷多个，它的终边在第二或第三象限，由定义知：在［0，2π］内符合条件的角x₁=π-arccos和x₂=π+arccos,由终边相同的角的集合的表达式可知：符合cosx=-的所有的角x的集合为{x|x=2kπ+π±arccos,k∈Z}.