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    函数f(x)=
    		2+2x2
    +
    		2x2+2x+1
    的最小值为
    		5
    		5
    ．
    分析：注意到函数f（x）是两个带根号式子的和，由此想到利用向量的性质：两个向量的长度之和大于或等于它们的和向量的长度，并且在它们共线且方向相同时，等号成立．因此设向量
    OA
    =(x，1)    ，
    OB
    =(-x-
    1
    2
    ，
    1
    2
    )    ，可得f（x）=
    		2
    （
    |OA|
    +
    |OB|
    ）．因为
    OA
    +
    OB
    =（-
    1
    2
    ，
    3
    2
    ），所以
    |OA
    +
    OB|
    =
    		(-
    1
    2
    )    2    +(
    3
    2
    )    2
    =
    		10
    2
    ，可得当且仅当向量
    OA
    与
    OB
    共线且同向时，即x=-
    1
    3
    时，函数f（x）的最小值为f（-
    1
    3
    ）=
    		5
    ．
    解答：解：设
    OA
    =(x，1)    ，
    OB
    =(-x-
    1
    2
    ，
    1
    2
    )    ，
    则
    |OA|
    =
    		1+x2
    ，
    |OB|
    =
    		(-x-
    1
    2
    )    2    +(
    1
    2
    )    2
    =
    		x2+x+
    1
    2

    ∴f(x)=
    		2+2x2
    +
    		2x2+2x+1
    =
    		2
    （
    |OA|
    +
    |OB|
    ）
    ∵
    OA
    +
    OB
    =（-
    1
    2
    ，
    3
    2
    ），且
    |OA|
    +
    |OB|
    ≥|
    OA
    +
    OB
    |
    |OA
    +
    OB|
    =
    		(-
    1
    2
    )    2    +(
    3
    2
    )    2
    =
    		10
    2

    ∴f（x）=
    		2
    （
    |OA|
    +
    |OB|
    ）≥
    		2
    •
    		10
    2
    =
    		5

    当且仅当向量
    OA
    与
    OB
    共线且同向时，取得最小值，
    此时x=2（-x-
    1
    2
    ），即x=-
    1
    3

    所以函数f（x）的最小值为f（-
    1
    3
    ）=
    		5

    故答案为：
    		5
    点评：本题以求一个带根号的函数最小值问题为载体，着重考查了向量长度的公式、向量的三角形不等式和函数的最值及其几何意义等知识点，属于中档题．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足条件：①当x∈R时，f（x-4）=f（2-x），且x≤f(x)≤
    12
    (1+x2)    ；②f（x）在R上的最小值为0．
    （1）求f（1）的值及f（x）的解析式；
    （2）若g（x）=f（x）-k2x在[-1，1]上是单调函数，求k的取值范围；
    （3）求最大值m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=
    x2-2x
    ex
    ，下列说法中正确的有
    （1）（3）
    （1）（3）
    ．
    （1）f（x）在R上有两个极值点；       
    （2）f（x）在x=2+
    		2
    处取得最大值；
    （3）f（x）在x=2-
    		2
    处取得最小值； 
    （4）f（x）在x=2+
    		2
    处取得极小值
    （5）函数f（x）在R上有三个不同的零点．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    下列说法正确的是（　　）

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    科目：高中数学 来源：四川省成都树德中学2012届高考适应考试(一)数学试题文理科 题型：022

    对于函数f(x)，定义：若存在非零常数M，T，使函数f(x)对定义域内的任意x，都满足f(x＋T)－f(x)＝M，则称函数y＝f(x)是准周期函数，非零常数T称为函数y＝f(x)的一个准周期．如函数f(x)＝2x＋sinx是以T＝2π为一个准周期且M＝4π的准周期函数．下列命题：

    ①2π是函数f(x)＝sinx的一个准周期；

    ②f(x)＝x＋(－1)x(x∈z)是以T＝2为一个准周期且M＝2的准周期函数；

    ③函数f(x)＝kx＋b＋Asin(wx＋φ)(k≠0，w＞0)是准周期函数；

    ④如果f(x)是一个一次函数与一个周期函数的和的形式，则f(x)一定是准周期函数；

    ⑤如果f(x＋1)＝－f(x)则函数h(x)＝x＋f(x)是以T＝2为一个准周期且M＝4的准周期函数；其中的真命题是________．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足条件：①当x∈R时，f（x-4）=f（2-x），且x≤f(x)≤
    1
    2
    (1+x2)    ；②f（x）在R上的最小值为0．
    （1）求f（1）的值及f（x）的解析式；
    （2）若g（x）=f（x）-k2x在[-1，1]上是单调函数，求k的取值范围；
    （3）求最大值m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．

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