Question

如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1． (1) 求BF的长 (2) 求点C到平面AEC1F的距离

Answer 1

答案：
解析：

(1)

解析：方法一　如图所示，(1)过E作EH∥BC交CC1于H，则CH=BE=1，EH∥AD，且EH=AD． 　　又∵AF∥EC1，∴∠FAD=∠C1EH． 　　∴Rt△ADF ≌ Rt△EHC1，∴DF=C1H=2． 　　∴BF==2． 　　方法二　建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)　B(2，4，0) 　A(2，0，0)　C(0，40)　E(2，4，1)C1(0，4，3)．设F(0，0，z) 　　∵四边形AEC1F为平行四边形，∴由=，得(－2，0，z)=(－2，0，2)，∴z=2，F(0，0，2)．∴=(－2，－4，2)． 　　于是｜｜=2，即BF的长为2．

(2)

延长C1E与CB交于G，连结AG，则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG．过C作CM上AG，垂足为M，连C1M，由三垂线定理可知AG⊥C1M． 　　∵AG⊥平面C1MC，且AG平面AEC1F，∴平面AEC1F⊥平面C1MC．在Rt△C1CM中，作CQ⊥MC1，垂足为Q，则CQ的长即为C到平面AEC1F的距离． 　　由=可得，BG=1，从而AG==． 　　由∠GAB=∠MCG知，CM=3cos∠MCG=3cos∠3×=， ∴CQ===． 　　方法二：设n1为平面AEC1F的法向量，显然n1不垂直于平面ADF，故可设n1=(x，y，1)， 　　由得 　　即∴ 　　又=(0，0，3)，设与n1的夹角为α，则 　　cos== 　　　=． 　　∴C到平面AEC1F的距离为d=｜｜cosα=3×=． 　　点评：若Aα，M∈α，平面α的一个法向量为n，则向量由在向量n上的投影的长度，等于点A至平面α的距离d，即d=｜｜·cos〈，n〉｜=．