Question

（2013•韶关二模）△ABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，且满足csinA+

3

acosC=0
（1）求C的值；
（2）若cosA=

3

5

，c=5

3

，求sinB和b的值．

Answer 1

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0，两边除以sinA再利用同角三角函数间的基本关系求出tanC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）由A为三角形的内角，及cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，由B=π-A-C，利用诱导公式得到sinB=sin（A+C），利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算求出sinB的值，由sinB，sinC及c的值，利用正弦定理即可求出b的值．

解答：解：（1）将csinA+

3

acosC=0利用正弦定理化简得：2RsinCsinA+2R

3

sinAcosC=0，
即2sinCsinA+2

3

sinAcosC=0，
∵sinA≠0，
∴sinC+

3

cosC=0，即tanC=-

3

，
∵C∈（0，π），
∴C=

2π

3

；
（2）∵cosA=

3

5

，A∈（0，

π

2

），
∴sinA=

1-cos2A

=

4

5

，
则sinB=sin（π-A-C）=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

4

5

×（-

1

2

）+

3

5

×

3

2

=

3 3 -4

10

，
∵sinB=

3 3 -4

10

，c=5

3

，sinC=sin

2π

3

=

3

2

则由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

，得：b=

csinB

sinC

=

5 3 × 3 3 -4 10

3 2

=3

3

-4．

点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．