Question

如图所示，四棱锥P—ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥面ABCD，PA=AD=CD=2AB.M为PC的中点，求：

(1)BM与AD成的角；

(2)BM与平面PBD所成的角的正弦值；

(3)C点到面PBD的距离；

(4)二面角CBDP的余弦值.

Answer 1

答案：解法一：以A点为原点建立空间直角坐标系(如下图所示)，

则B(1，0，0)、C(2，2，0)、D(0，2，0)、P(0，0，2)、M(1，1，1).

(1)∵cos〈〉=,故BM与AD所成的角为45°.

 (2)设平面PBD的法向量为n=(x,y,z)，则n·=(x,y,z)·(-1,2,0)=-x+2y=0，

∴x=2y.

n·=(x,y,z)·(0,2,-2)=2y-2z=0,

∴z=y.

取y=1，则n=(2,1,1)，∴cos(,n)=.

设BM与平面PBD所成的角为θ，则sinθ=cos(,n)=.即为所求.              

(3)C点到平面PBD的距离d=.                 

(4)由于平面PBD的法向量n=(2，1，1)，平面BCD的法向量为=(0，0，2)，

而cos(·n)=.

显然二面角CBDP的平面角为钝角，故所求的余弦值为.                   

解法二：(1)取PD的中点N，连结MN，则MN∥DC且MN=2DC，∴MN∥AB且MN=AB，

∴四边形ABMN为平行四边形，∴BM∥AN，∴∠NAD为异面直线BM与AD所成的角，

而PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，且PA=AD，∴∠NAD=45°，故BM与AD所成的角为45°.(2)∵BM∥AN，∴BM与平面PBD所成角等于AN与平面PBD所成角.过A作AE⊥BD于E，连结PE，过A作AF⊥PE于F，

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，∴BD⊥平面PAE，∴AF⊥BD，

∴AF⊥平面PBD.∠ANF是AN与面PBD所成的角，在△ABD中，AD=2，AB=1，AB⊥AD,∴BD=，

∴AE=.在△PAE中，PA=2，AE=，PA⊥AE，∴PE=，

∴AF=.在△PAD中，PA=AD=2，PA⊥AD，∴AN=，

∴sin∠ANF=.故BM与平面PBD所成角的正弦值为.                 

(3)设C点到平面PBD的距离为d，

∵V_C—PBD=V_C—BCD，

∴×(×BD×PE)×d=×(×CD×AD)×PA，∴d=.

故C点到平面PBD的距离为.                                             

(4)由(2)知，BD⊥平面PAE，∴∠PEA为二面角ABDP的平面角.

又PE=，AE=，

∴cos∠PEA=.

而二面角ABDP与二面角CBDP互补，故二面角CBDP的余弦值为.