Question

在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，求体对角线BD₁和面对角线AC所成角的大小．

Answer 1

答案：
解析：

思路分析一：巧妙利用原图中点性质，平移直线进而确定异面直线成角位置，本题可利用BD、DD1的中点确定成角位置． 　　解法一：如下图， 　　取D1D的中点N，则有D1N＝DN， 　　连结BD． 　　令BD∩AC＝O，则BO＝DO， 　　连结NO、NA、NC， 　　∵N、O分别为D1D、BD的中点， 　　∴NOBD1． 　　∴∠NOA(或∠NOC)是异面直线BD1和AC所成的角． 　　在Rt△NAD及Rt△NCD中， 　　∵AD＝CD，ND＝ND， 　　∴Rt△NAD≌Rt△NCD．∴NA＝NC． 　　∴△ANC为等腰三角形． 　　又O为AC的中点，∴NO⊥AC． 　　∴异面直线BD1和AC所成角为90°． 　　思路分析二：本题还可以过一条线段的端点作另一异面线段的平行线来构造异面直线所成的角． 　　温馨提示：(1)恰当地选点，用平移法构造出一个角； 　　(2)证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)； 　　(3)通过解三角形求出所构造的角的度数； 　　(4)给出结论：若0°＜≤90°，则即为所求异面直线所成的角的度数；若90°＜＜180°，则(180°－)即为所求异面直线所成的角的度数．