Question

方程

(1+x)3

4-x2

+x2-4=0的实根个数为

3

．

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：令f（x）=

(1+x)3

4-x2

+x2-4，定义域为（-2，2），然后求出导函数，判定导数符号得到函数的单调性，然后根据根的存在性定理进行判定即可．

解答：解：令f（x）=

(1+x)3

4-x2

+x2-4，定义域为（-2，2）
f'（x）=

3(1+x)2 4-x2 -(1+x)3 -x 4-x2

4-x2

+2x
=

(1+x)2[3 4-x2 + x(1+x) 4-x2 ]

4-x2

+2x
x→-2时，f'（x）→+∞，f'（-1）=-2＜0
∴f（x）在（-2，-1）上存在极大值，
而当x∈（-2，-1）时，

(1+x)3

4-x2

＜0，x²-4＜0
∴f（x）＜0
∴f（x）的极大值小于0，从而在（-2，0）上恒小于0
当x≥0时，f'（x）＞0，∴函数f（x）在[0，+∞）上单调递增
而f（0）=-

15

4

＜0，f（1）=

8 3

3

-3＞0
∴函数f（x）在[0，+∞）上有一个零点即方程

(1+x)3

4-x2

+x2-4=0的实根个数为1
故选D．

点评：本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，以及利用导数研究函数的单调性，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．