Question

设数列｛a_n｝，a₁=，若以a₁，a₂，…，a_n为系数的二次方程a_n-1x²-a_nx+1=0(n∈N^*且n≥2)都有根α、β满足3α-αβ+3β=1.

(1)求证:｛a_n-｝为等比数列；

(2)求a_n；

(3)求｛a_n｝的前n项和S_n.

Answer 1

(1)证明:∵α+β=，αβ=代入3α-αβ+3β=1得a_n=a_n-1+，

    ∴===为定值.

    ∴数列｛a_n-｝是等比数列.

(2)解:∵a₁-=-=,

    ∴a_n-=×()^n-1=()ⁿ.

    ∴a_n=()ⁿ+.

(3)解:S_n=(++…+)+=+=-.