Question

已知圆C：，圆D的圆心D在y轴上，且与圆C外切，圆D与y轴交于A、B两点，点P为(－3，0)．

(Ⅰ)若点D坐标为(0，3)，求∠APB的正切值；

(Ⅱ)当点D在y轴上运动时，求tan∠APB的最大值；

(Ⅲ)在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出点Q坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)∵|CD|＝＝5，且圆D与外切(O为原点)． 　　∴圆D半径r＝5－2＝3　此时，A、B坐标分别为(0，0)、(0，6) 　　PA在x轴上，PB斜率k＝2　　∴tan∠APB＝2． 　　(Ⅱ)设D点坐标为(0，a)圆D半径为r，则　　 ① 　　A、B坐标分别为(0，a－r)，(0，a＋r)． 　　设PA、PB斜率分别为，则 　　 　　 ② 　　由①解出代入②，得，而8r－6为单调增函数，r∈[2，＋∞)． 　　∴tan∠APB∈(]　　tan∠APB的最大值为； 　　(Ⅲ)假设存在Q点，设(Q)(b，0)，QA、QB斜率分别为，则 　　 　　tan∠AQB＝ 　　将代入上式，得 　　 　　欲使∠AQB大小与r无关，当且仅当， 此时 　　∴存在Q点，当圆D变动时，∠AQB为定值