Question

如右图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点M,N分别是边AB,CD的中点.

(1)求证:MN为AB和CD的公垂线;

(2)求MN的长;

(3)求异面直线AN与MC所成角的余弦值.

Answer 1

解：设=p,=q，=r，

(1)证明：=（）-

=(q+r-p),

所以·=（q+r-p）·p=(q·p+r·p-p²)=(a²·cos60°+a²·cos60°-a²)=0.

所以MN⊥AB，同理可证MN⊥CD.

所以MN为AB与CD的公垂线.

(2)解:由(1)可知=(q+r-p),

所以||²=()²=(q+r-p)²=［q²+r²+p²+2(q·r-q·p-r·p)］=［a²+a²+a²+2(--)］=×2a²=.

所以||=a.

所以MN的长度为a.

(3)解:设向量与的夹角为θ,

因为=()=(q+r),

=-=q-p,

所以·=(q+r)·(q-p)

=(q²-q·p+r·q-r·p)

=(a²-a²·cos60°+a²cos60°-a²·cos60°)

=(a²-+-)=.

又因为||=||=a,

所以·=||·||·cosθ

=a·a·cosθ=.

所以cosθ=.

所以向量与的夹角余弦值为.

从而异面直线AN,MC所成角的余弦值为.