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    lim
    n→∞
    (
    1
    12+2
    +
    1
    22+4
    +
    1
    32+6
    +…+
    1
    n2+2n
    )    =
     
    ．
    分析：由
    1
    n2+2n
    =
    1
    n(n+2)
    =
    1
    2
    (
    1
    n
    -
    1
    n+2
    )    ，知
    lim
    n→∞
    (
    1
    12+2
    +
    1
    22+4
    +
    1
    32+6
    +…+
    1
    n2+2n
    )    =
    1
    2
    lim
    n→∞
      (1+
    1
    2
    -
    1
    n+2
    )    ，由此能导出其最终结果．
    解答：解：∵
    1
    n2+2n
    =
    1
    n(n+2)
    =
    1
    2
    (
    1
    n
    -
    1
    n+2
    )    ，
    ∴
    lim
    n→∞
    (
    1
    12+2
    +
    1
    22+4
    +
    1
    32+6
    +…+
    1
    n2+2n
    )
    =
    1
    2
    lim
    n→∞
    [(1-
    1
    3
    )+(
    1
    2
    -
    1
    4
    )+(
    1
    3
    -
    1
    5
    )+(
    1
    4
    -
    1
    6
    )+…+(
    1
    n
    -
    1
    n+2
    )]
    =
    1
    2
    lim
    n→∞
      (1+
    1
    2
    -
    1
    n+2
    )
    =
    3
    4
    ．
    故答案为：
    3
    4
    ．
    点评：本题考查数列的极限和性质，解题时要注意裂项求和公式的合理运用．
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网将杨辉三角中的每一个数Cnr都换成
    1
    (n+1)
    C
    r
    n
    ，就得到一个如下图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出
    1
    (n+1)
    C
    r
    n
    +
    1
    (n+1)
    C
    x
    n
    =
    1
    n
    C
    r
    n-1
    ，其中x=r+1，令an=
    1
    3
    +
    1
    12
    +
    1
    30
    +
    1
    60
    +…+
    1
    n
    C
    2
    n-1
    +
    1
    (n+1)
    C
    2
    n
    ，则
    lim
    n→∞
    an    =
     

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    将杨晖三角形中的每一个数Cnr都换成分数 
    1
    (n+1)
    C
    r
    n
    ，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼兹三角形．令an=
    1
    3
    +
    1
    12
    +
    1
    30
    +
    1
    60
    +…+
    1
    n
    C
    n-3
    n-1
    +
    1
    (n+1)
    C
    n-2
    n
    ，
    观察莱布尼兹三角形规律，计算极限
    lim
    n→∞
    an    =
    1
    2
    1
    2
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2006•广州二模）若Sn=
    1
    12+2
    +
    1
    22+4
    +
    1
    32+6
    +…+
    1
    n2+2n
    （n∈N*），则
    lim
    n→∞
    Sn    =
    3
    4
    3
    4
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知等差数列{an}公差不为0，其前n项和为Sn，等比数列{bn}前n项和为Bn，公比为q，且|q|＞1，则
    lim
    n→+∞
    (
    Sn
    nan
    +
    Bn
    bn
    )    =
    1
    2
    +
    q
    q-1
    1
    2
    +
    q
    q-1
    ．

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