Question

（2006•广州二模）若Sn=

1

12+2

+

1

22+4

+

1

32+6

+…+

1

n2+2n

（n∈N^*），则

lim

n→∞

Sn=

3

4

．

Answer 1

分析：化简数列的通项，利用裂项法，求出数列的和，然后通过数列极限的运算法则，求出极限．

解答：解：因为

1

n2+2n

=

1

2

 (

1

n

-

1

n+2

)，
所以Sn=

1

12+2

+

1

22+4

+

1

32+6

+…+

1

n2+2n

=

1

2

(

1

1

-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)．
所以

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

 

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

1

2

(1+

1

2

)=

3

4

．
故答案为：

3

4

．

点评：本题考查数列通项公式的应用，裂项法求法数列的和，数列极限的应用，考查计算能力．