Question

12．已知三棱锥S-ABC所在顶点都在球O的球面上，且SC⊥平面ABC，若SC=AB=AC=1，∠BAC=120°，则球O的表面积为5π．

Answer 1

分析 求出BC，可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．

解答 解：∵AB=1，AC=1，∠BAC=120°，
∴BC=$\sqrt{1+1-2×1×1×（-\frac{1}{2}）}$=$\sqrt{3}$，
∴三角形ABC的外接圆直径2r=$\frac{\sqrt{3}}{sin120°}$=2，
∴r=1，
∵SC⊥面ABC，SC=1，三角形OSC为等腰三角形，
∴该三棱锥的外接球的半径R=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR²=4π×（$\frac{\sqrt{5}}{2}$）²=5π．
故答案为：5π．

点评 本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键．