Question

已知函数f(x)=x²+2x，g(x)=-x²+2x.

(1)解不等式：g(x)≥f(x)-|x-1|；

(2)若h(x)=g(x)-f(x)+1在[-1,1]上是增函数，求实数的取值范围；

(3)若g(x)≤m²-2mp+1对所有x∈R，p∈[-1,1]恒成立，求实数m的取值范围.

Answer 1

解：(1)g(x)≥f(x)-|x-1|-x²+2x≥x²+2x-|x-1|

                           -2x²+|x-1|≥0…………………………………………1分

                          

                           2x²-x+1≤0             2x²+x-1≤0

                           △=1-4×2×1<0          

                                             (2x-1)(x+1)≤0

                                                 

                                                 -1≤x≤

                           x∈[-1,]…………………………………………4分

(2)h(x)=g(x)-f(x)+1=-x²+2x-(x²+2x)+1=-(+1)x²+2(1-)x+1…………5分

在[-1,1]↑

①+1=0=-1时，h(x)=4x+1↑………………………………………………6分

②+1≠0时，对轴称

       

   

<-1或-1<≤0……………………………………………………………………9分

由上可知≤0…………………………………………………………………………10分

(3)g(x)=-x²+2x≤m²-2mp+1，对x∈R，p∈[-1,1]恒成立

m²-2mp+1≥(-x²+2x)_max=-((x-1)²+1)_max=1

m²-2mp≥0…………………………………………………………………………………12分

令f(p)=-2mp+m²

…………………………………………………………16分