Question

已知数列{a_n}中，a₁=,a_na_n-1+1=2a_n-1(n≥2,n∈N₊)，数列{b_n}满足b_n=(n∈N₊).

(1)求证：{b_n}是等差数列；

（2）求数列{a_n}中的最大项与最小项，并说明理由.

Answer 1

解析：（1）由a_na_n-1+1=2a_n-1得a_na_n-1-a_n-1=a_n-1-1,

∴∴b_n-b_n-1(n≥2,n∈N₊).

∵b₁=,∴数列{b_n}是以b₁=为首项，公差为1的等差数列.

（2）由（1）知b_n=n-3.5,又由b_n=得a_n=1+=1+.而点P（n,a_n)在函数y=+1的图象上，显然，在区间(3.5,+∞)上，y=+1单减且y＞1;在区间（0,3.5)上，y=+1也单减且y＜1.因此，当n=4时，a_n取最大值3；当n=3时，a_n取最小值-1.

温馨提示

化b_n-b_n-1为常数是目标，将b_n通过{a_n}的递推关系表示为a_n-1的函数，是有效过程.由{b_n}的通项得到{a_n}的通项，不拘泥于{a_n}的相邻项关系，更彰显解题的灵活性.用函数的图象解决数列问题，亦是函数的应用之一.