Question

定义在R上的函数f（x）满足：f（x+2）•f（x）=3，且f（-1）=2，则f（2013）=

3

2

．

Answer 1

分析：根据f（x+2）•f（x）=3，可以确定出函数f（x）的周期，再利用周期将2013和恒等式进行转化，再利用f（-1）=2，即可求得f（2013）的值．

解答：解：∵f（x+2）•f（x）=3，
∴f（x+2）=

3

f(x)

，
将x代换为x+2，则有f（x+4）=

3

f(x+2)

=f（x），
∴f（x）为周期函数，周期为4，
∴f（2013）=f（503×4+1）=f（1），
∵f（x+2）=

3

f(x)

，
令x=-1，则f（1）=

3

f(-1)

，
∵f（-1）=2，
∴f（1）=

3

f(-1)

=

3

2

，
∴f（1）=

3

2

．
故答案为：

3

2

．

点评：本题考查了抽象函数及其应用，函数的求值问题．主要考查了函数的性质的应用，要能够根据所给的恒等式求出周期，解题的关键是利用周期把所求的函数值转化到已知函数值上．考查了运算化简的能力．属于中档题．