Question

已知函数f（x）=是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断并证明f（x）的单调性；
（3）若对?x∈[0，1]，不等式f（x）≤t-x恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由奇函数的性质得f（0）=0，代入解析式求出a的值，再进行验证；
（2）先判断出函数的单调性，再由单调性定义证明：取值、作差、变形、判断符号、下结论，变形一定要彻底；
（3）利用分离常数法，将条件转化为“t≥f（x）+x对x∈[0，1]恒成立”，结合（2）判断出f（x）+x的单调性，求出此函数的最大值，即可得t得取值范围．
解答：（1）解：∵f（x）是奇函数
∴f（0）=0，即=0
∴a=1----------------------（3分）
经检验：a=1时f（x）=是奇函数，满足题意．--------（4分）
（2）f（x）是单调增函数
证明：任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=-=
=----------------------（7分）
∵x₁，x₂∈（-∞，+∞），x₁＜x₂
∴，
则f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x）在（-∞，+∞）上是单调增函数．----------------------（10分）
（3）由题意分离t得：t≥f（x）+x对x∈[0，1]恒成立----------------------（12分）
由（2）知函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调增函数
∴f（x）+x在[0，1]上是单调增函数
∴f（x）+x在[0，1]上的最大值为f（1）+1=----------------------（14分）
∴t≥，即所求实数a的取值范围为[，+∞）．----------------------（16分）
点评：本题考查了奇函数的性质应用，函数单调性的证明过程，及恒成立问题的转化等，考查了转化思想和分离常数法．