Question

若x，y是正数，则(x＋)²＋(y＋)²的最小值是

[　　]

A．

3

B．

C．

4

D．

Answer 1

答案：C
解析：

本题中的代数式展开后可出现利用基本不等式的结构，若注意到字母x，y在所给条件中的等价性，联系基本不等式的知识，可知当x＝y时可取到最小值． 　　方法一：∵将命题x，y的位置对调之后，命题的形式不变， 　　∴取到最小值时，x＝y，此时原式＝2(x＋)2≥＝4， 　　取“＝”的条件为x＝y＝． 　　方法二：(x＋)2＋(y＋)2 　　＝(x2＋)＋(y2＋)＋(＋)≥1＋1＋2＝4， 　　当x＝y＝时，式子取得最小值4． 　　方法三：∵x＞0，y＞0， 　　∴(x＋)2≥． 　　(y＋)2≥． 　　∴(x＋)2＋(y＋)2≥≥4． 　　当且仅当y＝且x＝，且， 　　即x＝y＝时取“＝”号．

提示：

本题的方法二与方法三都用了不止一次基本不等式求范围，方法二中包含三个可用基本不等式的结构式，方法三是先有两个数学结构式用了基本不等式，然后出现的新结构式又用了一次基本不等式．这种处理方法是有前提条件的，也就是说对一个数学结构式重复使用基本不等式时，要注意“＝”的延续性，即不论使用了几次基本不等式，取“＝”号时的x，y的值应该是相同的，否则最后的“＝”号是取不到的，如方法三中用“y＝且x＝且”来限制“＝”号．