Question

一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好与球的上面相切，将球从圆锥内取出后，求圆锥内的水深．

Answer 1

分析：由题意求出球的体积，求出圆锥的体积，设出水的高度，求出水的圆锥的体积，利用V_水+V_球=V_容器，求出圆锥内水平面高．

解答：解：如图．在容器内注入水，并放入一个半径为r的铁球，这时水面记为AB，
将球从圆锥内取出后，这时水面记为EF．
三角形PAB为轴截面，是正三角形，
三角形PEF也是正三角形，圆O是正三角形PAB的内切圆．
由题意可知，DO=CO=r，AO=2r=OP，AC=

3

r，
∴V球=

4

3

πr3，VPC=

1

3

π(

3

r)2•3r=3πr3
又设HP=h，则EH=

3

3

h
∴V水=

1

3

π(

3

3

h)2•h=

π

9

h3
∵V_水+V_球=V_PC
即

π

9

h3+

4

3

πr3=3πr³，
∴h=

3	15

r
即圆锥内的水深是

3	15

r．

点评：本小题主要考查球的体积和表面积、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想．属于基础题．