Question

已知a、b、c∈R⁺,求证:（ab+a+b+1）(ab+ac+bc+c²)≥16abc.

Answer 1

证法一：(综合法）

∵ab+a+b+1=(a+1)(b+1),

ab+ac+bc+c²=(a+c)(b+c),

又∵a＞0,b＞0,c＞0,

∴a+1≥2＞0,b+1≥2＞0,

a+c≥2＞0,b+c≥2＞0.

∴(a+c)(b+c)≥4=

(a+1)(b+1)≥4＞0.

因此当a、b、c∈R⁺时，有

（ab+a+b+1）(ab+ac+bc+c²)≥16abc,结论得证.

证法二:(分析综合法）

要证(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c²)≥16abc成立，

只需证（a+1）(b+1)(a+c)(b+c)≥16abc成立.

由于a＞0,b＞0,c＞0,

∴a+1≥2,b+1≥2,

a+c≥2,b+c≥2.

∴(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)≥2·2·2·2=16abc,

即（ab+a+b+1）(ab+ac+bc+c²)≥16abc成立.