Question

若函数f（x）=（2x²-a²x-a）lgx的值域为[0，+∞），则a=

1

．

Answer 1

分析：依题意，对x的范围分x∈（0，1）与x∈（1，+∞）讨论，利用韦达定理列出关于a的关系式，解之即可．

解答：解：令g（x）=2x²-a²x-a，
∵f（x）=（2x²-a²x-a）lgx的定义域为（0，+∞），
①当x∈（0，1）时，lgx＜0，要使函数f（x）=（2x²-a²x-a）lgx的值域为[0，+∞），
则

g(0)=-a≤0 g(1)=2-a2-a≤0

解得a≥1；
②当x＞1，lgx＞0，g（x）=2x²-a²x-a的对称轴为x=

a2

4

，要使函数f（x）=（2x²-a²x-a）lgx的值域为[0，+∞），
则

g(1)≥0 a2 4 ≤1

，即

2-a2-a≥0 a2≤4

，解得-2≤a≤1；
③当x=1时，f（x）=0，满足题意，a∈R；
综合①②③知，要使函数f（x）=（2x²-a²x-a）lgx的值域为[0，+∞），即a应使①②③式均成立，则a=1．
故答案为：1．

点评：本题考查对数函数的值域与最值，考查二次函数的性质，考查分类讨论思想与方程思想，属于难题．