Question

在五棱锥P－ABCDE中，PA＝AB＝AE＝2a，PB＝PE＝a，BC＝DE＝a，∠EAB＝∠ABC＝∠DEA＝90°．

(1)求证：PA⊥平面ABCDE；

(2)求二面角A－PD－E的大小；

(3)求点C到平面PDE的距离．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明∵PA＝AB＝2a，PB＝2a，∴PA2＋AB2＝PB2，∴∠PAB＝90°，即PA⊥AB． 　　同理PA⊥AE．3分∵AB∩AE＝A，∴PA⊥平面ABCDE．　　　3分; 　　(2)∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED． 　　∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED． 　　∴ED⊥平面PAE．过A作AG⊥PE于G， 　　∴DE⊥AG，∴AG⊥平面PDE． 　　过G作GH⊥PD于H，连AH， 　　由三垂线定理得AH⊥PD． 　　∴∠AHG为二面角A－PD－E的平面角．　　6分 　　在直角ΔPAE中，AG＝a．在直角ΔPAD中，AH＝a， 　　∴在直角ΔAHG中，sin∠AHG＝＝．∴∠AHG＝arcsin． 　　∴二面角A－PD－E的大小为arcsin．　　8分; 　　(3)∵∠EAB＝∠ABC＝∠DEA＝90°，BC＝DE＝a，AB＝AE＝2a，取AE中点F，连CF， 　　∵AF∥＝BC，∴四边形ABCF为平行四边形． 　　∴CF∥AB，而AB∥DE，∴CF∥DE，而DE平面PDE，CF平面PDE， 　　∴CF∥平面PDE． 　　∴点C到平面PDE的距离等于F到平面PDE的距离．　　10分 　　∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥DE． 　　又∵DE⊥AE，∴DE⊥平面PAE． 　　∴平面PAE⊥平面PDE． 　　∴过F作FG⊥PE于G，则FG⊥平面PDE． 　　∴FG的长即F点到平面PDE的距离．　　　　　　　　12分 　　在ΔPAE中，PA＝AE＝2a，F为AE中点，FG⊥PE， 　　∴FG＝a． 　　∴点C到平面PDE的距离为a．　　14分