Question

用数学归纳法证明（n∈N）。

 

Answer 1

答案：
解析：

∵1，a1，a2，a3…，an，2成等比数列， ∴， ∴， ∴， ∵1，b1，b2，b3，…，bn，2成等差数列， ∴， ∴。 所以，数列{An}的通项，数列{Bn}的通项Bn=。 ∴。 要比较An与Bn的大小，只需比较与的大小， 也即比较当n≥7时，2n与的大小。 当n=7时，2，得知， 经验证n=8，n=9时，均有命题成立。 猜想当n≥7时有。用数学归纳法证明。 （1）当n=7时，已验证，命题成立。 （2）假设n=k(k≥7)时，命题成立，即：， 那么，又当k≥7时，有， ∴。 这就是说，当n=k+1时，命题成立。 根据（1）、（2），可知命题对于n≥7都成立。 故当n≥7时，An>Bn。