Question

（2012•贵阳模拟）设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=a，an+1=2Sn+4n ， n∈N*．
（1）设bn=Sn-4n，求数列{b_n}的通项公式；
（2）若对于一切n∈N^*，都有a_n+1≥a_n恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依题意，S_n+1-S_n=a_n+1=2S_n+4ⁿ，即S_n+1=3S_n+4ⁿ，设bn=Sn-4n，则bn+1=Sn+1-4n+1，从而可得b_n+1=3b_n，由此可求数列{b_n}的通项公式；
（2）由①知S_n=4ⁿ+（a-4）×3^n-1，从而可得数列的通项，作差，利用a_n+1≥a_n恒成立，即可求a的取值范围．

解答：解：（1）依题意，S_n+1-S_n=a_n+1=2S_n+4ⁿ，即S_n+1=3S_n+4ⁿ，
设bn=Sn-4n，则bn+1=Sn+1-4n+1
∴b_n+1=3b_n，
∵b₁=S₁-4=a-4
∴数列{b_n}的通项公式为b_n=（a-4）×3^n-1，n∈N^*．①（6分）
（2）由①知S_n=4ⁿ+（a-4）×3^n-1，
于是，当n≥2时，
a_n=S_n-S_n-1=4ⁿ+（a-4）×3^n-1-[4^n-1+（a-4）×3^n-2]=3×4^n-1+2（a-4）3^n-2，
a_n+1-a_n=9×4^n-1+4（a-4）×3^n-2，
当n≥2时，a_n+1≥a_n等价于9×4^n-1+4（a-4）×3^n-2≥0
∴36×(

4

3

)n-2+4（a-4）≥0
∴a≥-5．
由S_n+1=3S_n+4ⁿ，得S₂=3S₁+4=3a+4，
即a₂=2a+4
故当n=1时，a₂-a₁=a+4≥0
即a≥-4
综上，所求的a的取值范围是[-4，+∞）．（12分）

点评：本题考查数列递推式，考查数列递推通项，考查恒成立问题，确定数列的通项是关键．