Question

如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．

（Ⅰ）求三棱锥E﹣PAD的体积；

（Ⅱ）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；

（Ⅲ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．

Answer 1

考点：

直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．

分析：

本题考查了空间几何体的体积、线面位置关系的判定、线面垂直等知识点，

（Ⅰ）利用换底法求V_P﹣ADE即可；（Ⅱ）利用三角形的中位线及线面平行的判定定理解决；

（Ⅲ）通过证明AF⊥平面PBE即可解决．

解答：

解：（Ⅰ）三棱锥E﹣PAD的体积．（4分）

（Ⅱ）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．（5分）

∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，

∴EF∥PC，又EF⊄平面PAC，而PC⊂平面PAC，

∴EF∥平面PAC．（8分）

（Ⅲ）证明：

∵PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，

∴EB⊥PA，又EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP⊂平面PAB，

∴EB⊥平面PAB，又AF⊂平面PAB，

∴AF⊥BE．（10分）

又PA=AB=1，点F是PB的中点，

∴AF⊥PB，

又∵PB∩BE=B，PB，BE⊂平面PBE，

∴AF⊥平面PBE．

∵PE⊂平面PBE，

∴AF⊥PE．（12分）

点评：

无论是线面平行（垂直）还是面面平行（垂直），都源自于线与线的平行（垂直），这种“高维”向“低维”转化的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的平行（垂直）关系，再从结论入手分析所要证明的平行（垂直）关系，从而架起已知与未知之间的桥梁．