Question

已知A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），且0＜α＜π
（1）若|+|=，求与的夹角；
（2）若AC⊥BC，求tanα的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用向量的坐标运算求出；利用向量模的坐标公式得到三角函数方程，求出α；求出两个向量的夹角．
（2）利用向量的坐标公式求出两个向量的坐标；利用向量垂直的充要条件列出方程求出；利用三角函数的平方关系将此等式平方求出cosα-sinα；求出sinα，cosα；利用三角函数的商数关系求出tanα．
解答：解：（1）∵=（2+cosα，sinα），||=
∴（2+cosα）²+sin²a=7，
∴cosa=又α∈（0，π），
∴a=，即∠AOC=
又∠AOB=，∴OB与OC的夹角为；
（2）=（cosa-2，sina），=（cosa，sina-2），
∵AC⊥BC，∴=0，cosa+sina=①
∴（cosa+sina）²=，∴2sinacosa=-
∵a∈（0，π），∴，
又由（cosa-sina）²=1-2sinacosa=，cosa-sina＜0，
∴cosa-sina=-②由①、②得cosa=，sina=，
从而tana=-．
点评：本题考查向量模的坐标公式、考查向量垂直的充要条件、考查三角函数的平方关系、商数关系、
考查cosα+sinα、cosα-sinα、2sinαcosα三者知二求一．