Question

设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（4）=1．
（1）求f（1）的值；
（2）若存在实数m，使得f（m）=2，求m的值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）采用赋值法，令x=y=1，代入f（xy）=f（x）+f（y）即可；
（2）因为f（x）是（0，+∞）上的增函数，所以至多存在一个m的值，使得f（m）=2，然后利用f（xy）=f（x）+f（y），f（4）=1，采用赋值法求出m的值．

解答： 解：
（1）令x=y=1，代入f（xy）=f（x）+f（y）得f（1）=f（1）+f（1），所以f（1）=0；
（2）根据f（xy）=f（x）+f（y），f（4）=1，
2=1+1=f（4）+f（4）=f（16）=f（m），又因为y=f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
所以m=16．
即存在实数m=16，使得f（m）=2．

点评：这是一道抽象函数问题，诸如“f（xy）=f（x）+f（y），f（xy）=f（x）f（y），f（x+y）=f（x）+f（y），…”此类的条件，一般结合赋值法来求解．