Question

(19)如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD，AE⊥PD，EF∥CD，AM=EF.

(Ⅰ)证明:MF是异面直线AB与PC的公垂线；

(Ⅱ)若PA=3AB，求直线AC与平面EAM所成角的正弦值.

Answer 1

(19)(Ⅰ)证明:因PA⊥底面，有PA⊥AB

又知AB⊥AD,故AB⊥面PAD，推得BA⊥AE.

又AM∥CD∥EF，且AM=EF，

证得AEFM是矩形，故AM⊥MF.

又因AE⊥PD，AE⊥CD，故AE⊥面PCD

因此MF是AB与PC的公垂线.

(Ⅱ)解：连结BD交AC于O，连结BE，过O作BE的垂线OH，

垂足H在BE上.

易知PD⊥面MAE，故DE⊥BE.

又OH⊥BE，故OH∥DE，

因此OH⊥面MAE.

连结AH，则∠HAO是所要求的直线AC与面MAE所成的角.

设AB=a,则PA=3a,AO=AC=a.

因Rt△ADE∽Rt△PDA,故

ED===.

OH=ED=.

从而在Rt△AHO中,

sinHAO==×==.