Question

(19)如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD，AE⊥PD，EF∥CD，AM=EF.

(Ⅰ)证明:MF是异面直线AB与PC的公垂线；

(Ⅱ)若PA=3AB,求二面角E—AB—D平面角的正弦值.

Answer 1

(19)

（I）证明：因PA⊥底面，有PA⊥AB，又知AB⊥AD，

故AB⊥面PAD，推得BA⊥AE，

又AM∥CD∥EF，且AM=EF，

证得AEFM是矩形，故AM⊥MF.

又因AE⊥PD，AE⊥CD，故AE⊥面PCD，

而MF∥AE，得MF⊥面PCD，

故MF⊥PC，

因此MF是AB与PC的公垂线.

Ⅱ解：因由(Ⅰ)知AE⊥AB，又AD⊥AB，故∠EAD是二面角E—AB—D的平面角.

设AB=a,则PA=3a.

因为Rt△ADE∽Rt△PDA，故∠EAD=∠APD

因此sinEAD=sinAPD===.