Question

已知A(1,f′(1))是函数y=f(x)的导函数图象上的一点,点B为(x,ln(x+1)),向量a=(1,1),令f(x)=·a.

(1)求函数y=f(x)的表达式;

(2)若x＞0,证明:f(x)＞;

(3)若x∈［-1,1］时,不等式x²≤f(x²)+m²m-3都恒成立,求实数m的取值范围.

Answer 1

(1)解:∵A(1,f′(1)),B(x,ln(x+1)),∴=(x-1,ln(x+1)-f′(1)),

∴f(x)=·a=ln(x+1)+x-f′(1)-1.∴f′(x)=+1.∴f′(1)=.∴f(x)=ln(x+1)+x.

(2)证明:设g(x)=f(x)=ln(x+1)+x=ln(x+1).

∴g′(x)=＞0.

∴函数g(x)在(0,+∞)上是增函数.又∵g(0)=0,∴g(x)＞0.∴f(x)＞.

(3)解:由x²≤f(x²)+m²m-3,得m²m≥-ln(x²+1).设h(x)=-ln(x²+1),

则h′(x)==,∴当x∈［-1,0］时,h′(x)＞0,h(x)为递增函数,

当x∈［0,1］时,h′(x)＜0,h(x)为递减函数,而h′(0)=0.

∴当x=0时,h(x)有最大值为0.∴m²m≥0,即2m²-9m-11≥0,解得m≤-1或m≥1.∴实数m的取值范围是m≤-1或m≥.