Question

（2010•武汉模拟）在三角形ABC中，已知A=135°，BC=4，B=2C．
（1）求AB的长；
（2）求BC边上中线AM长．

Answer 1

分析：（1）由三角形内角和可得角C的值，由正弦定理可求得AB=4

2

sin（45°-30°），利用两角差的正弦公式求出AB的值；
（2）在三角形ABM中，由BC的长得出BM的长，利用余弦定理表示出AM²=AB²+BM²-2AB•BM•cosB，把BM，AB及cosB的值代入，即可求出AM的值．

解答：解：（1）在△ABC中，A=135°，B=2C，
则B=30°，C=15°，
∴sin15°=sin（45°-30°）=sin45°cos30°-cos45°sin30°=

6 - 2

2

，
根据正弦定理

BC

sinA

=

AB

sinC

得：
AB=BC•

sinC

sinA

=4×

sin15°

sin135°

=

6 - 2

4

×

2

×4=2(

3

-1)；（6分）
（2）在△ABM中，由余弦定理可知：
AM²=AB²+BM²-2AB•BM•cosB
=[2(

3

-1)]2+22-2•2(

3

-1)•2cos30°
=4(2-

3

)，
∴AM=

6

-

2

．（12分）

点评：本题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，根据题意求出C的度数，进而利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值求出sinC的值是本题的突破点，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．