Question

已知定义在上的函数f(x)，对任意的实数m、n,都有f(m＋n)＝f(m)f(n)成立，且当x＞0时，有f(x)＞1成立 (1) 求f(0)的值，并证明当x＜0时，有0＜f(x)＜1成立； (2) 判断函数f(x)在R上的单调性，并证明你的结论； (3) 若f(1)＝2，数列{an}满足，记，且对一切正整数有恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：令，得， 由题意得，所以．……………………2分 若，则， ∴． 由已知，得．…………………………………4分
(2)	解：任取且设，…………………………………5分 由已知和(Ⅰ)得， ∴，……………………………7分 ，∴， ∴． 所以函数在上是增函数．…………………………………9分
(3)	解：， ∴数列是首项为2,公比为2的等比数列． ∴．…………………………………11分 ．…………………12分 又对一切正整数，有恒成立， 即恒成立． 又，∴恒成立． 又由(Ⅱ)得， 解得的取值范围是．……………………14分