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    已知圆M:x2+y2-2mx-2ny+m2-1=0与圆N:x2+y2+2x+2y-2=0交于A、B两点,且这两点平分圆N的圆周,求圆M的圆心轨迹方程,并求其中半径最小时圆M的方程.

    思路解析：根据两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程,根据条件可知公共弦过圆N的圆心,代入即可找到m和n的关系式.

    解：两圆方程相减可得公共弦所在直线AB方程:2(m+1)x+2(n+1)y-m2-1=0,依题意,直线AB过圆N的圆心(-1,-1),所以m2+2m+2n+5=0,即(m+1)2=-2(n+2)(n≤-2).所以圆M的圆心轨迹方程为(x+1)2=-2(y+2).又圆M的半径r=≥,且n=-2,m=-1时取到等号.所以r的最小值为.此时圆M方程为(x+1)2+(y+2)2=5.

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