Question

（1）求证：C_n-1^m+C_n-1^m-2+2C_n-1^m-1=C_n+1^m；
（2）设（1-

2

x）²⁰⁰⁴=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₀₄x²⁰⁰⁴，其中，a₀，a₁，a₂，…，a₂₀₀₄是常数，求：（a₀+a₂+a₄+…+a₂₀₀₄）²-（a₁+a₃+a₅+…+a₂₀₀₃）²的值．

Answer 1

分析：（1）利用组合数的性质：C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m得到C_n-1^m+C_n-1^m-2+2C_n-1^m-1=（C_n-1^m+C_n-1^m-1）+（C_n-1^m-1+C_n-1^m-2得证．
（2）将（a₀+a₂+a₄+…+a₂₀₀₄）²-（a₁+a₃+a₅+…+a₂₀₀₃）²的利用平方差公式展开，令（1-

2

x）²⁰⁰⁴=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₀₄x²⁰⁰⁴的x分别取1，-1，代入上式，求出待求的值．

解答：解：（1）证明：C_n-1^m+C_n-1^m-2+2C_n-1^m-1=（C_n-1^m+C_n-1^m-1）+（C_n-1^m-1+C_n-1^m-2）=C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m
所以C_n-1^m+C_n-1^m-2+2C_n-1^m-1=C_n+1^m；
（2）令x=1，则有(1-

2

)2004=a0+a1+a2+…+a2004，
令x=-1则有(1+

2

)2004=a0-a 1+a2-a3+…+(-1)2004a2004，

(a0+a2+…+a2004)2-(a1+a3+…+a2003)2

=(a0+a1+a2+…+a2004)(a0-a1+a2-…+a2004)

=(1- 2 )2004(1+ 2 )2004=[(1- 2 )(1+ 2 )]2004=(-1)2004=1

所以：（a₀+a₂+a₄+…+a₂₀₀₄）²-（a₁+a₃+a₅+…+a₂₀₀₃）²=1．

点评：本题考查组合数的性质：C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m，考查利用赋值法求二项展开式的系数和问题，是高考常考题型．