Question

17.如图，在直三棱柱ABO－A′B′O′中，OO′＝4，OA＝4，OB＝3，∠AOB＝90°.D是线段A′B′的中点，P是侧棱BB′上的一点.若OP⊥BD，求OP与底面AOB所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

Answer 1

17.［解法一］如图，以O点为原点建立空间直角坐标系.

由题意，有B（3，0，0），D（，2，4）.

设P（3，0，z），则＝｛－，2，4｝，＝｛3，0，z｝.

∵BD⊥OP，∴·＝－＋4z＝0.

z＝

∵BB′⊥平面AOB，∴∠POB是OP与底面AOB所成的角.

tanPOB＝，∴∠POB＝arctan.

 

［解法二］取O′B′中点E，连结DE、BE，则：

DE⊥平面OBB′O′，

∴BE是BD在平面OBB′O′内的射影.

又∵OP⊥BD.

由三垂线定理的逆定理，得OP⊥BE.

在矩形OBB′O′中，易得Rt△OBP∽Rt△BB′E

∴＝，得BP＝.

（以下同解法一）.