Question

求函数y=x²+的单调区间.

Answer 1

思路分析：求函数的单调区间（亦即判断函数的单调性），一般有三种方法：

（1）图象法；（2）定义法；（3）利用已知函数的单调性.

    但本题图象不易作，利用y=x²与y=的单调性也难以确定，故只有用单调性定义来确定，即判断f(x₂)-f(x₁)的正负.

解：首先确定定义域：{x|x∈R且x≠0},

f(x₂)-f(x₁)=x₂²+-x₁²-=(x₂²-x₁²)+=(x₂²-x₁²)(1-),

（1）当x₁、x₂∈（0，1），x₁＜x₂

时，1-＜0,

∴f(x₂)-f(x₁)＜0，为减函数.

（2）当x₁、x₂∈（1，+∞）,x₁＜x₂时，1-＞0,

∴f(x₂)-f(x₁)＞0,为增函数.同理可求：

（3）当x₁、x₂∈（-1，0）,x₁＜x₂时，为减函数；

（4）当x₁、x₂∈(-∞,-1),x₁＜x₂时，为增函数.

温馨提示

    解答本题易出现以下错误结论：f(x)在（-1，0）∪(0,1)上是减函数，在（-∞,-1）∪(1,+∞)上是增函数，或说f(x)在（-∞,0）∪(0,+∞)上是单调函数，排除障碍是要正确理解函数的单调性概念：函数的单调性是对某个区间而言的，不是两个或两个以上不相交区间的并.