Question

已知函数f（x）=2^x，若对任意的x∈[1，2]，不等式[f（t•x）]²≤4f（x²）恒成立，则实数t的取值范围是（　　）

• A．t≤

  3

  2

• B．t≥

  3

  2

• C．t≤

  2

• D．t≥

  2

Answer 1

分析：根据f（x）=2^x，将不等式[f（t•x）]²≤4f（x²）表示为2^2tx≤2x2+2对任意的x∈[1，2]恒成立，利用指数函数的单调性，转化为2tx≤x²+2对任意的x∈[1，2]恒成立，利用参变量分离法，转化为2t≤（

x2+2

x

）_min，再利用基本不等式求解（

x2+2

x

）_min，从而求得t的取值范围．

解答：解：∵f（x）=2^x，
∴[f（t•x）]²=2^2tx，f（x²）=2x2，
∵[f（t•x）]²≤4f（x²）对任意的x∈[1，2]恒成立，
∴2^2tx≤4•2x2对任意的x∈[1，2]恒成立，即2^2tx≤2x2+2对任意的x∈[1，2]恒成立，
∵f（x）=2^x在R上是单调递增函数，
∴2tx≤x²+2对任意的x∈[1，2]恒成立，即2t≤

x2+2

x

对任意的x∈[1，2]恒成立，
∴2t≤（

x2+2

x

）_min，
y=

x2+2

x

=x+

2

x

≥2

x• 2 x

=2

2

，
当且仅当x=

2

x

，即x=

2

时取“=”，
∴（

x2+2

x

）_min=2

2

，
∴2t≤2

2

，
∴t≤

2

，
∴实数t的取值范围是t≤

2

．
故选C．

点评：本题考查了函数恒成立问题，指数函数单调性的应用．对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．属于中档题．