Question

8．如果△ABC内接于单位圆，且$（{a^2}-{c^2}）=（\sqrt{2}a-b）b$，则△ABC面积的最大值为$\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}$．

Answer 1

分析 △ABC内接于单位圆，可得R_外=1，由$（{a^2}-{c^2}）=（\sqrt{2}a-b）b$，根据余弦定理可得coaC，根据S=$\frac{1}{2}absinC$利用三角函数的有界限求解△ABC面积的最大值．

解答 解：由题意，△ABC内接于单位圆，
可得R_外=1，
由$（{a^2}-{c^2}）=（\sqrt{2}a-b）b$，即${a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}=\sqrt{2}ab$，
那么：cosC=$\frac{\sqrt{2}ab}{2ab}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{4}$，
则A+B=$\frac{3π}{4}$．
正弦定理可得：a=2RsinA，b=2RsinB，
∴△ABC面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\sqrt{2}$sinAsinB=$\sqrt{2}$sinAsin（$\frac{3π}{4}-A$）=$\frac{1}{2}$sin2A+sin²A=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2A-$\frac{π}{4}$）$+\frac{1}{2}$，
∵$0＜A＜\frac{3π}{4}$，
∴-$\frac{π}{4}＜$2A-$\frac{π}{4}$＜$\frac{4π}{3}$，
当2A+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，
△ABC面积的最大值为：$\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}$．

点评 本题考查了正余弦定理的运用和计算化解能力．同时考查了利用三角函数的有界限求解最值问题．