Question

已知数列{a_n}中，a₁＝2，a_n＋1＝(－1)(a_n＋2)，n＝1，2，3，…．

(1)求{a_n}的通项公式；

(2)若数列{b_n}中b₁＝2，b_n+1＝，n＝1，2，3，…，证明2＜b_n≤a₄n－3，n＝1，2，3，…．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由题设： 　　an＋1＝(－1)(an＋2) 　　＝(－1)(an－)＋(－1)(2＋) 　　＝(－1)(an－)＋， 　　所以an＋1－＝(－1)(an－)． 　　所以数列{an－}是首项为2－，公比为－1的等比数列． 　　则an－＝(－1)n， 　　即an的通项公式为an＝[(－1)n＋1]，n＝1，2，3，…． 　　(2)用数学归纳法证明． 　　①当n＝1时，因＜2，b1＝a1＝2， 　　所以＜b1≤a1，结论成立． 　　②假设当n＝k时，结论成立， 　　即＜bk≤a4k－3， 　　也即0＜bk－≤a4k－3－． 　　当n＝k＋1时， 　　 　　所以 　　 　　也就是说，当n＝k＋1时，结论成立． 　　根据①②，知＜bn≤a4n－3，n＝1，2，3，…．