Question

已知关于t的整系数方程t²+xt+y=0有实根α、β，且α²+β²＜4，求x、y的值．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：函数的性质及应用

分析：由条件利用韦达定理可得则α+β=-x，αβ=y，x²-4y≥0，则x²≥4y．再由α²+β²＜4，求得 x²＜2y+4，可得-2＜y＜2．分类讨论，求得（x，y）的所有可能值

解答： 解：∵α、β是整系数方程t²+xt+y=0的两个实数根，
则α+β=-x，αβ=y，x²-4y≥0，则x²≥4y．
α²+β²=（α+β）²-2αβ=x²-2y＜4，即 x²＜2y+4．
则2y+4＞4y，且2y+4＞0，所以，-2＜y＜2．
当y=-1时，则-4≤x²＜2，所以，x=-1或0或1
当y=0时，则0≤x²＜4，所以，x=-1或0或1
当y=1时，则4≤x²＜6，所以，x=-2或2．
所以，（x，y）的所有可能值是：（-1，-1）、（0，-1）、（1，-1）、（-1，0）、（0，0）、（1，0）、（-2，1）、（2，1）．

点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．