Question

已知A，B，C，D是平面上四点，O是空间任一点，{a_n}为等差数列若

OA

=a1

OB

+a8

OC

+a15

OD

，则a₈=

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：等差数列与等比数列,空间向量及应用

分析：根据点A和B，C，D三点共面的充要条件可得：a₁+a₈+a₁₅=1，又{a_n}为等差数列，所以a₁+a₁₅=2a₈，这样即可求得a₈．

解答： 解：A，B，C，D四点共面，则

BA

，

BC

，

BD

三向量共面，根据平面向量基本定理有：
存在实数x，y使

BA

=x

BC

+y

BD

；
∴

OA

-

OB

=x(

OC

-

OB

)+y(

OD

-

OB

)，
∴

OA

=(1-x-y)

OB

+x

OC

+y

OD

；
∴1-x-y+x+y=1，根据空间向量基本定理有：a₁+a₈+a₁₅=1；
∵{a_n}为等差数列，∴a₁+a₁₅=2a₈，∴3a8=1，a8=

1

3

．
故答案为：

1

3

．

点评：考查空间四点共面的充要条件，等差数列，等差中项．