Question

一个圆锥的高为定值h，圆锥顶角的大小可以变化，球C₁是圆锥的一个内切球，球C₂是与圆锥侧面及球C₁相切的球．当球C₁的半径R为何值时，球C₂的体积最大？求出这个最大值．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：画出该圆锥的轴截面图，如图．

　　设圆锥的顶点为S，底面圆心为O，球C₂的半径为r，过点C₁作C₁E⊥SB于点E，过点C₂作C₂F⊥SB于点F．

　　因为△SC₂F∽△SC₁E，

　　所以＝，

　　整理得r＝＝－＋．

　　故当R＝时，r取最大值，此时球C₂的体积最大，最大体积V＝π×＝．

　　点评：本题巧妙应用截面图形，并利用三角形的相似比将问题转化为二次函数的最值问题来求解．