Question

15．已知P（x，y）为区域$\left\{\begin{array}{l}{y^2}-4{x^2}≤0\\ a≤x≤0\end{array}\right.$内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=x-2y的最小值是（　　）

• A． $-5\sqrt{2}$
• B． $-3\sqrt{2}$
• C． $-\sqrt{2}$
• D． 0

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为4的a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案

解答 解：由已知不等式得到可行域如图：
由图可得A（a，2a），B（a，-2a），
由${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}|AB|×|a|$=2a²=4，解得a=-$\sqrt{2}$．
∴A（$-\sqrt{2}$，-2$\sqrt{2}$），B（$-\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），
化目标函数z=x-2y为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$z，
∴当y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$z过B点时，z最小值$-\sqrt{2}-4\sqrt{2}=-5\sqrt{2}$；
故选：A．

点评 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．