Question

如图,在底面为平行四边形的四棱锥P—ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB,点E是PD的中点.

(1)求证:AC⊥PB;

(2)求证:PB∥平面AEC;

(3)求二面角E—AC—B的大小.

Answer 1

解法1:(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,

∴AB是PB在平面ABCD上的射影.

又∵AB⊥AC,AC平面ABCD,

∴AC⊥PB.

(2)证明:连结BD,与AC相交于O,连结EO.

∵ABCD是平行四边形,

∴O是BD的中点.

又E是PD的中点,

∴EO∥PB.

又PB平面AEC,EO平面AEC,

∴PB∥平面AEC.

(3)解:过O作FG∥AB,交AD于F,交BC于G,则F为AD的中点.

∵AB⊥AC,∴OG⊥AC.

又由(1)(2)知AC⊥PB,EO∥PB.

∴AC⊥EO.

∴∠EOG是二面角E—AC—B的平面角.

连结EF,在△EFO中,

EF=PA,FO=AB,又PA=AB,EF⊥FO,

∴∠EOF=45°,∠EOG=135°.

∴二面角E—AC—B的大小为135°.

解法2:(1)证明:建立空间直角坐标系A—xyz,如图.

设AC=a,PA=b,则有A(0,0,0),B(0,b,0),C(a,0,0),P(0,0,b),

∴ (a,0,0),=(0,b,-b),从而·=0.

∴AC⊥PB.

(2)证明:连结BD,与AC相交于O,连结EO.

由已知得D(a,-b,0),

E(,),O(,0,0),

∴=(0,,-).

又PB=(0,b,-b),

∴PB =.

∴PB∥EO.

又PB平面AEC,EO平面AEC,

∴PB∥平面AEC.

(3)解:取BC中点G,连结OG,则点G的坐标为(,,0), =(0,,0),

又=(0,-,), =(a,0,0),

∴=0,=0.

∴OE⊥AC,OG⊥AC.

∴∠EOG是二面角E—AC—B的平面角.

∵cosEOG=cos＜,＞=,

∴∠EOG=135°.

∴二面角E—AC—B的大小为135°.